Nach dem verlinkte Wörterbuch und Duden Online regiert "schicken" einen Infinitiv ohne zu. "Ich schicke Paul Bier zu holen" würde ich in der Umgangssprache dennoch gelten lassen.
Mir erscheint jedoch "Ich schickte Paul, um Bier zu holen" vertrauter. Sprachbeleg:
Immer zu Weihnachten - er muss lachen, wenn er heute davon erzählt - schickte man ihn auf einen wackligen Kirchturm, um das neue Jahr mit Trompetenklängen zu begrüßen.
Braunschweiger Zeitung, 05.01.2013, Ressort: WN-Lok; Die Suche nach dem Chor 2.0
Aus dem Zusammenhang wird meist eindeutig klar, wer wen schickt um was zu tun:
Sie schickten ihr Kind ins Ferienlager, um Zeit für sich zu haben.
"Ich schickte Paul zum Bierholen", d. H. Substantivierung des Verbs, würde ich vermeiden, allein schon um mich um die Frage der Schreibung herumzudrücken.
Es stellt sich aber die Frage, inwieweit "schicken" in diesem Zusammenhang überhaupt gebräuchlich ist, und nicht:
Ich ließ ihn Bier holen.
Wie die Erörterung zeigt, ist "schicken" ist in diesem Zusammenhang recht sperrig.
Anmerkung: Emanuel hat recht insoweit, dass "ließ" formal klingt, jedoch halte ich das Präteritum dafür verantwortlich. Im Alltag wird man eher "Ich hab' ihn Bier holen geschickt" oder "Ich hab' ihn Bier holen lassen"; das dürfte auch meist richtig sein, weil entweder Paul weg ist oder das Bier bereits auf dem Tisch steht und damit das Ergebnis der Handlung betont wird.