In einer anderen Antwort wurde die These aufgestellt, dass Singular zwingend anzuwenden sein, weil jede Person (vorausgesetzterweise) nur einen Pass hat, nicht mehrere.
Versuchen wir es mal experimentell. Jede Person hat bekanntlich nur jeweils eine Nase und einen Kopf.
Der Behördenleiter sagte den Bürgern, sie sollten ihre Nase nicht überall reinstecken.
Der Behördenleiter sagte den Bürgern, sie sollten ihre Nasen nicht überall reinstecken.
Hier wäre ich für Singular. Vielleicht hängt dies aber mit der Redewendung "die Nase überall reinstecken" zusammen, die eben etablierterweise die Nase im Singular verwendet.
Also nächster Versuch, ohne Störeinfluß etablierter Wendungen:
Der Baustellenleiter sagte den Besuchern, sie sollten auf ihren Kopf achtgeben.
Der Baustellenleiter sagte den Besuchern, sie sollten auf ihre Köpfe achtgeben.
In diesem Fall klingt der Satz für mich mit Köpfen im Plural normaler, mit Kopf im Singular eher schräg. Die Besucher haben gleichwohl jeweils nur einen Kopf, und der Satz mit Plural ruft bei mir nicht das Bild eines Baustellenbesuchs durch eine Delegation von Hydren auf.
Ähnlich geht es mir bei:
Die Reisenden müssen an der Grenze ihren Pass vorzeigen.
Die Reisenden müssen an der Grenze ihre Pässe vorzeigen.
Mit Pässen im Plural klingt es für mich normaler.
Dies alles ist allerdings keine grammatische Frage. Eher eine Frage des Stils sowie der Perspektive: Aus Sicht des Baustellenleiters sind dort viele Köpfe, die an einen Balken stoßen können. Aus Sicht des einzelen Besuchers ist jeweils nur auf einen einzigen Kopf aufzupassen. Aus Sicht des Grenzbeamten sind es viele Pässe, die einzusammeln sind. Aus Sicht des Reisenden ist jeweils nur ein einziger Pass vorzuzeigen.
Entsprechend kann man im Falle der Handys auch beide Varianten einsetzen, je nach Perspektive auf die Sache:
Es ärgert den Lehrer, wenn die Teilnehmer mit dem Handy spielen.
Dies nimmt die Teilnehmer als einzelne in den Blick.
Es ärgert den Lehrer, wenn die Teilnehmer mit den Handys spielen.
Dies nimmt die gesamte Gruppe in den Blick.