The main point is that anderen Partikeln is not exactly one item so this is plural. And the dative plural strong ending is -en, not -em:
…, das die Nase vom Staub reinigt.
…, das die Nase von den anderen Partikeln reinigt.
So if you wanted to conflate those two, you had to write:
…, das die Nase vom Staub und von den anderen Partikeln reinigt.
BUT you don't need the definite article on either of those two because it's not a specific dust nor specific particles you are talking about. So the following is also okay:
…, das die Nase von Staub reinigt.
…, das die Nase von anderen Partikeln reinigt.
And those you can conflate even further:
…, das die Nase von Staub und anderen Partikeln reinigt.