1.На прошлой неделе мы ездили в Москву, и я водил туда и обратно.
The sentence is incorrect. That was not a repeated action, so водил cannot be used. It was one completed trip and the movement is not multidirectional, not туда-сюда, first туда, then обратно.
На прошлой неделе мы ездили в Москву, и я вёл машину и туда, и обратно.
2.На прошлой неделе мы ездили в Москву. Я вёл туда и моя подруга вела обратно.
This sentence is grammatically correct. I would just insert the object машину and avoid repetition.
Я вел машину туда, а моя подруга обратно.
Alternatively, would it be better to use за рулём?
You cannot say вести за рулем, Only быть за рулём.
По дороге туда за рулем был я, а обратно — моя подруга.
Those are just possible alternatives.